不能的，灰喜鹊是不能养的。
根据现有的法律规定，灰喜鹊属于“三有保护动物”，这意味着它们是国家重点保护的陆生野生动物。在中国，未经许可私自豢养灰喜鹊是被严格禁止的，因为这可能涉及到违法行为。如果违反相关法律法规，可能会受到法律的处罚，包括但不限于行政处罚甚至刑事责任。
它们的外观与喜鹊相似，但相对较小。灰喜鹊的体长大约在33至40厘米之间，具有黑色的嘴和脚，以及从额头延伸至后颈的黑色羽毛。它们的背部颜色为灰色，翅膀和尾部则是灰蓝色，初级飞羽的外翈端部带有白色。灰喜鹊的下体羽毛为灰白色，外侧尾羽较短，不如中央尾羽那样长。
它们主要栖息在开阔的松林和阔叶林中，也会出现在公园、城镇居民区和城市公园的树木上。灰喜鹊的食物主要包括昆虫和幼虫，以及植物的果实和种子。它们是杂食性的鸟类，但在食物组成上更倾向于动物性食物。灰喜鹊也被认为是聪明的一种鸟类，被誉为吉祥之鸟。它们广泛分布在欧洲、亚洲大陆以及某些地区如西班牙半岛、法国、蒙古北部等地。灰喜鹊的数量在中国并不少见，仅次于喜鹊。